$n$ は3で割り切れない正の整数であるとき、整式 $x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを示す。

1. 問題の内容

$n$ は3で割り切れない正の整数であるとき、整式 $x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを示す。

2. 解き方の手順

$x^2 + x + 1 = 0$ の解を $\omega$ とする。このとき、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

また、$\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ より、$\omega^3 = 1$ である。

$x^{2n} + x^n + 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れるためには、$x^{2n} + x^n + 1 = 0$ が $x = \omega$ で成り立つ必要がある。つまり、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ を示す。

$n$ は3で割り切れないので、$n$ を3で割った余りは1か2である。

(i) $n = 3k + 1$ のとき

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3k+1)} + \omega^{3k+1} + 1 = \omega^{6k+2} + \omega^{3k+1} + 1 = (\omega^3)^{2k} \omega^2 + (\omega^3)^k \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(ii) $n = 3k + 2$ のとき

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3k+2)} + \omega^{3k+2} + 1 = \omega^{6k+4} + \omega^{3k+2} + 1 = (\omega^3)^{2k} \omega^4 + (\omega^3)^k \omega^2 + 1 = \omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega^3 \omega + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$

いずれの場合も $\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ が成り立つので、$x^{2n} + x^n + 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

$x^{2n} + x^n + 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。