3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ （ただし、$a, b, c, d$ は定数、$a \neq 0$）の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の関係が成り立つことを証明する必要があります。 $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

1. 問題の内容

3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ （ただし、$a, b, c, d$ は定数、$a \neq 0$）の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の関係が成り立つことを証明する必要があります。

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

2. 解き方の手順

３次方程式の解と係数の関係を導く。

$\alpha, \beta, \gamma$を解とする3次方程式は、定数$k$を用いて以下のように表せる。

$k(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = 0$

これを展開する。

$k(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)(x - \gamma) = 0$

$k(x^3 - (\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x - \gamma x^2 + (\alpha + \beta)\gamma x - \alpha\beta\gamma) = 0$

$k(x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma) = 0$

$kx^3 - k(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + k(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - k\alpha\beta\gamma = 0$

与えられた方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ と比較するため、$x^3$ の係数を合わせる。

$k = a$ とすると、

$ax^3 - a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - a\alpha\beta\gamma = 0$

これは、

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

と等しいので、各係数を比較する。

$x^2$ の係数より、$b = -a(\alpha + \beta + \gamma)$

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$x$ の係数より、$c = a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

定数項より、$d = -a\alpha\beta\gamma$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

よって、

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$