与えられた4次方程式 $2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x + 2 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = x + \frac{1}{x}$ ($x \ne 0$) とおくとき、与えられた方程式を $t$ の方程式で表します。 (2) 与えられた4次方程式を複素数の範囲で解きます。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x + 2 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = x + \frac{1}{x}$ ($x \ne 0$) とおくとき、与えられた方程式を $t$ の方程式で表します。

(2) 与えられた4次方程式を複素数の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

(1) $t = x + \frac{1}{x}$ とおくとき、与えられた方程式を $t$ の方程式で表す。

与えられた4次方程式を $x^2$ で割ると、

$2x^2 - 3x + 5 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

整理すると、

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$

ここで、$t = x + \frac{1}{x}$ であるから、$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ となるので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となる。

したがって、

$2(t^2 - 2) - 3t + 5 = 0$

$2t^2 - 4 - 3t + 5 = 0$

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

(2) 4次方程式を複素数の範囲で解く。

(1)で求めた $t$ の方程式 $2t^2 - 3t + 1 = 0$ を解くと、

$(2t - 1)(t - 1) = 0$

$t = 1, \frac{1}{2}$

$t = x + \frac{1}{x}$ より、$x + \frac{1}{x} = 1$ または $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

(i) $x + \frac{1}{x} = 1$ のとき、両辺に $x$ を掛けて整理すると、

$x^2 - x + 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(ii) $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ のとき、両辺に $2x$ を掛けて整理すると、

$2x^2 - x + 2 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2t^2 - 3t + 1 = 0$

(2) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{4}$