与えられた連立方程式 $ \begin{cases} x + 1 = -t \\ x + 1 = t \quad (t > 0) \end{cases} $ と、方程式 $ (x + 1)^2 = t^2 $ が同値かどうかを判断する問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$$

\begin{cases}

x + 1 = -t \\

x + 1 = t \quad (t > 0)

\end{cases}

$$

と、方程式

$$

(x + 1)^2 = t^2

$$

が同値かどうかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式から考えてみます。

連立方程式は $x+1 = -t$ と $x+1 = t$ という2つの式で構成されており、$t>0$という条件が与えられています。この連立方程式が成り立つのは、$x+1$が同時に$-t$と$t$に等しい場合のみです。つまり、$t = -t$が成り立つ必要があります。しかし、$t > 0$なので、$t = -t$が成り立つのは$t=0$のときのみです。これは$t>0$という条件と矛盾します。したがって、この連立方程式を満たす解は存在しません。

次に、方程式 $(x+1)^2 = t^2$ を考えます。この式は、$x+1 = t$ または $x+1 = -t$ と同値です。これは、$x+1 = t$ と $x+1 = -t$ のどちらかが成り立つ場合、または両方が成り立つ場合を意味します。$t > 0$の条件下では、$x+1 = t$は解を持ちますし、$x+1 = -t$も解を持ちます。

連立方程式は解を持たないのに対し、$(x+1)^2 = t^2$ は解を持つため、この二つは同値ではありません。

3. 最終的な答え

同値ではない