5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数の中で、100に最も近い自然数を求めます。

## 問題24

1. 問題の内容

5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数の中で、100に最も近い自然数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、5で割ると2余る自然数を $5k+2$ （$k$は整数）と表します。

この数が7で割ると4余ることから、

$5k+2 \equiv 4 \pmod{7}$

$5k \equiv 2 \pmod{7}$

$3 \times 5k \equiv 3 \times 2 \pmod{7}$

$15k \equiv 6 \pmod{7}$

$k \equiv 6 \pmod{7}$

したがって、$k$ は $k=7m+6$（$m$は整数）と表せます。

$5k+2$ に代入すると、

$5(7m+6)+2 = 35m+30+2 = 35m+32$

求める自然数は、$35m+32$ で表され、これが100に最も近い数になるような $m$ を探します。

$m=1$ のとき $35(1)+32=67$

$m=2$ のとき $35(2)+32=70+32=102$

$m=3$ のとき $35(3)+32=105+32=137$

$102-100 = 2$

$100-67 = 33$

したがって、100に最も近い数は102です。

3. 最終的な答え

102

## 問題25

1. 問題の内容

$63 \times (3n+19)$ がある整数の平方となるとき、最も小さい自然数 $n$ を求めます。

2. 解き方の手順

$63 = 3^2 \times 7$ であるから、$63 \times (3n+19) = 3^2 \times 7 \times (3n+19)$ が平方数になるためには、$7 \times (3n+19)$ が平方数である必要があります。

つまり、$7 \times (3n+19) = l^2$ となるような整数 $l$ が存在します。

$3n+19$ は7の倍数である必要があるので、$3n+19 = 7k$ （$k$は整数）とします。

$7 \times (3n+19) = 7 \times 7k = 49k = (7 \sqrt{k})^2$ となるので、$k$ は平方数である必要があります。

$k = p^2$ （$p$は整数）とおくと、$3n+19 = 7p^2$ となります。

$3n = 7p^2 - 19$

$n = \frac{7p^2 - 19}{3}$

$n$ が自然数となるためには、$7p^2 - 19$ が3の倍数である必要があります。つまり、$7p^2 - 19 \equiv 0 \pmod{3}$

$7p^2 \equiv 19 \pmod{3}$

$p^2 \equiv 1 \pmod{3}$

$p=1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots$ などが考えられます。

$p=1$ のとき $n = \frac{7(1)^2 - 19}{3} = \frac{-12}{3} = -4$ (不適)

$p=2$ のとき $n = \frac{7(2)^2 - 19}{3} = \frac{28-19}{3} = \frac{9}{3} = 3$

したがって、最も小さい自然数 $n$ は 3 です。

3. 最終的な答え

3