与えられた式 $(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ を展開し、計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ を展開し、計算せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開する。

$(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) = a(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) - b(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) + c(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$

まず、$a(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ を計算する。

$a(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) = a^3+ab^2+ac^2+a^2b+abc-ca^2$

次に、$b(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ を計算する。

$b(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) = a^2b+b^3+bc^2+ab^2+b^2c-abc$

次に、$c(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)$ を計算する。

$c(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca) = a^2c+b^2c+c^3+abc+bc^2-ac^2$

これらをまとめると、

$(a^3+ab^2+ac^2+a^2b+abc-ca^2) - (a^2b+b^3+bc^2+ab^2+b^2c-abc) + (a^2c+b^2c+c^3+abc+bc^2-ac^2) = a^3+ab^2+ac^2+a^2b+abc-ca^2 - a^2b-b^3-bc^2-ab^2-b^2c+abc + a^2c+b^2c+c^3+abc+bc^2-ac^2$

同類項を整理する。

$a^3 - b^3 + c^3 + a^2b - a^2b - ca^2 + a^2c + ab^2 - ab^2 + ac^2 - ac^2 + bc^2 - bc^2 + abc + abc + abc = a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$

3. 最終的な答え

$a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$