定積分 $\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ なので、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ と置きます。

両辺に $x^3+1$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$B = -A$

$-A-A+C = 0 \Rightarrow C = 2A$

$A+2A = 1 \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

よって、$B = -\frac{1}{3}$, $C = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x+2/3}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

$\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) dx$

ここで、$\frac{-x+2}{x^2-x+1} = \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2} \frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3}{2} \frac{1}{x^2-x+1}$

$\int_0^1 \frac{1}{x+1} dx = [\ln(x+1)]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

$\int_0^1 \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx = [\ln(x^2-x+1)]_0^1 = \ln(1) - \ln(1) = 0$

$\int_0^1 \frac{1}{x^2-x+1} dx = \int_0^1 \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{4}{3} \int_0^1 \frac{1}{(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})^2 + 1} dx$

$u = \frac{2x-1}{\sqrt{3}}$ と置くと、$du = \frac{2}{\sqrt{3}} dx$ より $dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$

$x=0$ のとき $u = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x=1$ のとき $u = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^2-x+1} dx = \frac{4}{3} \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{u^2+1} \frac{\sqrt{3}}{2} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} [\arctan u]_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) \right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \left( \ln 2 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi\sqrt{3}}{9} \right) = \frac{1}{3} \ln 2 + \frac{\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln 2 + \frac{\sqrt{3}\pi}{9}$