与えられた式 $\log_3 75 \cdot \log_5 45 - (\log_3 25 + \log_5 9)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_3 75 \cdot \log_5 45 - (\log_3 25 + \log_5 9)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数を分解します。

$\log_3 75 = \log_3 (3 \cdot 25) = \log_3 3 + \log_3 25 = 1 + \log_3 5^2 = 1 + 2 \log_3 5$

$\log_5 45 = \log_5 (5 \cdot 9) = \log_5 5 + \log_5 9 = 1 + \log_5 3^2 = 1 + 2 \log_5 3$

$\log_3 25 = \log_3 5^2 = 2 \log_3 5$

$\log_5 9 = \log_5 3^2 = 2 \log_5 3$

これらを元の式に代入します。

$(1 + 2 \log_3 5)(1 + 2 \log_5 3) - (2 \log_3 5 + 2 \log_5 3)$

展開します。

$1 + 2 \log_5 3 + 2 \log_3 5 + 4 \log_3 5 \cdot \log_5 3 - 2 \log_3 5 - 2 \log_5 3$

ここで、$\log_3 5 \cdot \log_5 3 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 5} = \log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 1$ となることに注意します。

したがって、式は次のようになります。

$1 + 2 \log_5 3 + 2 \log_3 5 + 4(1) - 2 \log_3 5 - 2 \log_5 3$

$1 + 4 = 5$

3. 最終的な答え

5