与えられた式 $\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡単にします。

$\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3$

$\log_3 6 = \log_3 (3 \cdot 2) = \log_3 3 + \log_3 2 = 1 + \log_3 2$

したがって、

$\log_2 6 \cdot \log_3 6 = (1 + \log_2 3)(1 + \log_3 2) = 1 + \log_3 2 + \log_2 3 + \log_2 3 \cdot \log_3 2$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を利用すると、

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$

となるので、

$\log_2 6 \cdot \log_3 6 = 1 + \log_3 2 + \log_2 3 + 1 = 2 + \log_3 2 + \log_2 3$

したがって、

$\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2) = (2 + \log_3 2 + \log_2 3) - (\log_2 3 + \log_3 2) = 2$

3. 最終的な答え

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