与えられた数式の値を計算します。 数式は次の通りです： $(\log_5 2 + \log_5 3 \cdot \log_3 4) \log_2 5$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

数式は次の通りです：

$(\log_5 2 + \log_5 3 \cdot \log_3 4) \log_2 5$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡略化します。

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

したがって、$\log_5 3 \cdot \log_3 4 = \log_5 4$ となります。

与えられた式は次のようになります。

$(\log_5 2 + \log_5 4) \log_2 5$

対数の和は、真数の積の対数で表すことができます。

$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$

したがって、$\log_5 2 + \log_5 4 = \log_5 (2 \cdot 4) = \log_5 8$ となります。

与えられた式は次のようになります。

$(\log_5 8) \log_2 5$

底の変換公式を利用します。$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

$(\log_5 8) \log_2 5 = (\frac{\log_2 8}{\log_2 5}) \log_2 5 = \log_2 8$

$8 = 2^3$ であるため、$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \log_2 2 = 3$ となります。

3. 最終的な答え

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