質量5kgの氷塊を氷上で水平に押す。氷と氷塊の間の静止摩擦係数は0.4、動摩擦係数は0.1とする。重力加速度は$9.8 m/s^2$とする。以下の問いに答えよ。 (1) 氷塊が滑り出すために必要な力はいくらか。 (2) 滑っている氷塊に働く摩擦力はいくらか。 (3) 滑っている氷塊の加速度はいくらか。 (4) 氷塊が16m移動して停止した。この間に摩擦力がした仕事はいくらか。 (5) 氷塊が滑り出した瞬間の速さはいくらか。

1. 問題の内容

質量5kgの氷塊を氷上で水平に押す。氷と氷塊の間の静止摩擦係数は0.4、動摩擦係数は0.1とする。重力加速度は$9.8 m/s^2$とする。以下の問いに答えよ。

(1) 氷塊が滑り出すために必要な力はいくらか。

(2) 滑っている氷塊に働く摩擦力はいくらか。

(3) 滑っている氷塊の加速度はいくらか。

(4) 氷塊が16m移動して停止した。この間に摩擦力がした仕事はいくらか。

(5) 氷塊が滑り出した瞬間の速さはいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 氷塊が滑り出す条件は、押す力が最大静止摩擦力より大きくなることである。最大静止摩擦力 $F_{max}$ は、

$F_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$

ここで$\mu_s$ は静止摩擦係数、 $N$ は垂直抗力、$m$ は質量、$g$は重力加速度である。

$F_{max} = 0.4 \times 5 \times 9.8 = 19.6 N$

したがって、押す力が19.6 Nより大きければ氷塊は滑り出す。有効数字2桁で答えるので、20 Nとなる。

(2) 氷塊が滑っているとき、働く摩擦力は動摩擦力である。動摩擦力 $F_k$ は、

$F_k = \mu_k N = \mu_k mg$

ここで $\mu_k$ は動摩擦係数である。

$F_k = 0.1 \times 5 \times 9.8 = 4.9 N$

(3) 氷塊の加速度 $a$ は、ニュートンの運動方程式 $F = ma$ から求めることができる。摩擦力のみが働いているので、$F = -F_k$ となる。

$a = \frac{F}{m} = \frac{-4.9}{5} = -0.98 m/s^2$

(4) 摩擦力がした仕事 $W$ は、力と距離の積で計算できる。

$W = F_k d \cos \theta$

ここで、$d$は移動距離、$\theta$は力と移動方向のなす角である。今回は摩擦力と移動方向が逆向きなので$\theta = 180^{\circ}$、$\cos 180^{\circ} = -1$ である。

$W = 4.9 \times 16 \times (-1) = -78.4 J$

有効数字2桁で答えるので、-78 Jとなる。

(5) 等加速度運動の公式を用いて、滑り出した瞬間の速さ $v_0$ を求める。

$v^2 = v_0^2 + 2ad$

ここで、$v$ は最終速度、$a$ は加速度、$d$ は移動距離である。氷塊は停止したので、$v = 0$である。

$0 = v_0^2 + 2 \times (-0.98) \times 16$

$v_0^2 = 31.36$

$v_0 = \sqrt{31.36} = 5.6 m/s$

3. 最終的な答え

(1) 20 N

(2) 4.9 N

(3) 0.98 m/s²

(4) -78 J

(5) 5.6 m/s