$\tan \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta}$ の分子と分母を $\cos^2\theta$ で割る。

$\frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta} = \frac{\frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{\frac{1}{\cos^2\theta} + 2\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{1 - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}$

ここで、$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta$ および $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ であることを利用する。

すると、与えられた式は、

$\frac{1 + \tan^2\theta + 2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ となる。

$\tan \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\frac{1 + (\frac{2}{3})^2 + 2(\frac{2}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{1 + \frac{4}{9} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{9+4+12}{9}}{\frac{9-4}{9}} = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{25}{5} = 5$

3. 最終的な答え

5