二項定理を用いて、以下の式を満たす $□$ に入る数を求める問題です。 ${}_{99}C_0 + {}_{99}C_1 + {}_{99}C_2 + \dots + {}_{99}C_{48} + {}_{99}C_{49} = 2^{□}$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の式を満たす $□$ に入る数を求める問題です。

${}_{99}C_0 + {}_{99}C_1 + {}_{99}C_2 + \dots + {}_{99}C_{48} + {}_{99}C_{49} = 2^{□}$

2. 解き方の手順

まず、二項定理における基本的な関係式を確認します。

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^k = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$

ここで、$x=1$ を代入すると、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$

この関係式を利用します。

${}_{99}C_0 + {}_{99}C_1 + {}_{99}C_2 + \dots + {}_{99}C_{48} + {}_{99}C_{49}$ を評価します。

二項係数の性質 ${}_nC_k = {}_nC_{n-k}$ を用います。

${}_{99}C_0 = {}_{99}C_{99}$

${}_{99}C_1 = {}_{99}C_{98}$

${}_{99}C_2 = {}_{99}C_{97}$

…

${}_{99}C_{49} = {}_{99}C_{50}$

したがって、与えられた和を $S$ とすると、

$S = {}_{99}C_0 + {}_{99}C_1 + \dots + {}_{99}C_{49}$

同様に、

$S = {}_{99}C_{99} + {}_{99}C_{98} + \dots + {}_{99}C_{50}$

これらを足し合わせると、

$2S = ({}_{99}C_0 + {}_{99}C_{99}) + ({}_{99}C_1 + {}_{99}C_{98}) + \dots + ({}_{99}C_{49} + {}_{99}C_{50})$

$2S = {}_{99}C_0 + {}_{99}C_1 + \dots + {}_{99}C_{49} + {}_{99}C_{50} + \dots + {}_{99}C_{99}$

これは、${}_{99}C_0$ から ${}_{99}C_{99}$ までの二項係数の和なので、

$2S = \sum_{k=0}^{99} {}_99C_k = 2^{99}$

したがって、$S = \frac{2^{99}}{2} = 2^{98}$

よって、$2^{□} = 2^{98}$ より、$□ = 98$

3. 最終的な答え

98