円Oの外の点Pから円に引いた2本の接線PA, PBがある。円弧AB上の点Qがある。∠APB = 56°のとき、∠AOBと∠AQBの大きさを求める。

1. 問題の内容

円Oの外の点Pから円に引いた2本の接線PA, PBがある。円弧AB上の点Qがある。∠APB = 56°のとき、∠AOBと∠AQBの大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠AOBの求め方:

* 四角形PAOBについて考える。

* PA, PBは円Oの接線なので、∠OAP = 90°、∠OBP = 90°である。

* 四角形の内角の和は360°なので、

$∠AOB + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°$

* これに値を代入すると、

$∠AOB + 90° + 90° + 56° = 360°$

* ∠AOBについて解くと、

$∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°$

(2) ∠AQBの求め方:

* ∠AQBは弧ABに対する円周角であり、∠AOBは弧ABに対する中心角である。

* 円周角の定理より、中心角は円周角の2倍であるか、または円周角は中心角の半分である。ただし、Qが点A, Bを含まない弧AB上にある場合に限る。

* Qが点A,Bを含まない弧AB上にあるとき、$∠AQB = \frac{1}{2}∠AOB$が成り立つ。この場合は、$∠AQB = \frac{1}{2} * 124° = 62°$。

* しかし、Qが点A, Bを含む弧AB上にあるとき、$∠AQB = 180° - \frac{1}{2}∠AOB$が成り立つ。

$∠AQB = 180° - 62° = 118°$

3. 最終的な答え

(1) ∠AOB = 124°

(2) ∠AQB = 118°