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円周上に3点A, B, Cをとって三角形ABCを作る。点Aを含まない弧BC上に点Dをとる。点Bを通りDCに平行な直線と円との交点をEとする。BEとADの交点をFとする。このとき、三角形ABFと三角形ACEが相似であることを証明する。

幾何学円相似円周角の定理平行線三角形
2025/3/28

1. 問題の内容

円周上に3点A, B, Cをとって三角形ABCを作る。点Aを含まない弧BC上に点Dをとる。点Bを通りDCに平行な直線と円との交点をEとする。BEとADの交点をFとする。このとき、三角形ABFと三角形ACEが相似であることを証明する。

2. 解き方の手順

三角形ABFと三角形ACEにおいて、相似であることを示すためには、2組の角がそれぞれ等しいことを示せば良い。
* 角BAF = 角CAEについて
これは共通の角なので、
角BAF = 角CAE ...(1)
* 角ABF = 角ACEについて
仮定より、BE//DCなので、錯角は等しく、
角EBC = 角DCB ...(2)
円周角の定理より、弧AEに対する円周角は等しいので、
角ACE = 角ABE ...(3)
円周角の定理より、弧BDに対する円周角は等しいので、
角DCB = 角DEB ...(4)
式(2)より、角EBC = 角DCBであり、
角ABF = 角ABE + 角EBC ...(5)
式(3)より、角ACE = 角ABEであり、
式(4)より、角DCB = 角DEBなので、
式(2),(3),(4),(5)より、
角ABF = 角ABE + 角EBC = 角ACE + 角DCB = 角ACE + 角DEB
したがって、角ABF = 角ACE ...(6)
(1),(6)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
三角形ABF 相似 三角形ACE。

3. 最終的な答え

三角形ABF 相似 三角形ACE

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