円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとする。$\angle ABD = \angle BCA$であるとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle ACD \sim \triangle ADP$ を証明する。 (2) $AP = 6$ cm, $PC = 7$ cm のとき、辺ADの長さを求める。

幾何学四角形相似円周角の定理
2025/3/28

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとする。ABD=BCA\angle ABD = \angle BCAであるとき、以下の問いに答える。
(1) ACDADP\triangle ACD \sim \triangle ADP を証明する。
(2) AP=6AP = 6 cm, PC=7PC = 7 cm のとき、辺ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) ACD\triangle ACDADP\triangle ADP について、相似であることを示す。
まず、CAD\angle CAD は共通である。
次に、円周角の定理より、ABD=ACD\angle ABD = \angle ACDである。
仮定より、ABD=BCA\angle ABD = \angle BCA であるから、ACD=BCA\angle ACD = \angle BCAである。
したがって、BCA=PCA=ACD\angle BCA = \angle PCA = \angle ACDである。
よって、ACD\triangle ACDADP\triangle ADP において、
CAD=DAP\angle CAD = \angle DAP (共通)
ACD=ADP\angle ACD = \angle ADP (円周角の定理と仮定より)
2組の角がそれぞれ等しいので、ACDADP\triangle ACD \sim \triangle ADPである。
(2) ACDADP\triangle ACD \sim \triangle ADP であるから、対応する辺の比は等しい。
すなわち、AC:AD=AD:APAC : AD = AD : APが成り立つ。
よって、AD2=ACAPAD^2 = AC \cdot APである。
ここで、AC=AP+PCAC = AP + PC であるから、AC=6+7=13AC = 6 + 7 = 13 cm である。
AD2=136=78AD^2 = 13 \cdot 6 = 78
AD=78AD = \sqrt{78} cm

3. 最終的な答え

(1) ACDADP\triangle ACD \sim \triangle ADP (証明終わり)
(2) AD=78AD = \sqrt{78} cm

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