円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとする。$\angle ABD = \angle BCA$であるとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle ACD \sim \triangle ADP$ を証明する。 (2) $AP = 6$ cm, $PC = 7$ cm のとき、辺ADの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとする。$\angle ABD = \angle BCA$であるとき、以下の問いに答える。

(1) $\triangle ACD \sim \triangle ADP$ を証明する。

(2) $AP = 6$ cm, $PC = 7$ cm のとき、辺ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ACD$ と $\triangle ADP$ について、相似であることを示す。

まず、$\angle CAD$ は共通である。

次に、円周角の定理より、$\angle ABD = \angle ACD$である。

仮定より、$\angle ABD = \angle BCA$ であるから、$\angle ACD = \angle BCA$である。

したがって、$\angle BCA = \angle PCA = \angle ACD$である。

よって、$\triangle ACD$ と $\triangle ADP$ において、

$\angle CAD = \angle DAP$ (共通)

$\angle ACD = \angle ADP$ (円周角の定理と仮定より)

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ACD \sim \triangle ADP$である。

(2) $\triangle ACD \sim \triangle ADP$ であるから、対応する辺の比は等しい。

すなわち、$AC : AD = AD : AP$が成り立つ。

よって、$AD^2 = AC \cdot AP$である。

ここで、$AC = AP + PC$ であるから、$AC = 6 + 7 = 13$ cm である。

$AD^2 = 13 \cdot 6 = 78$

$AD = \sqrt{78}$ cm

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ACD \sim \triangle ADP$ (証明終わり)

(2) $AD = \sqrt{78}$ cm