問題は2つあります。 (1) $0 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 5$ の取りうる値の範囲を考えます。$x=1$ のとき最大値をとり、$x = \log_3 5$ のとき最小値をとります。最大値と最小値を求めます。 (2) 数列$\{a_n\}$を、$a_1 = 3$ とし、$n=1,2,3,...$ において、$a_n$ を2倍して1を引いた値を $a_{n+1}$ とします。$a_2$, $a_3$ の値を求め、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $0 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 5$ の取りうる値の範囲を考えます。$x=1$ のとき最大値をとり、$x = \log_3 5$ のとき最小値をとります。最大値と最小値を求めます。

(2) 数列$\{a_n\}$を、$a_1 = 3$ とし、$n=1,2,3,...$ において、$a_n$ を2倍して1を引いた値を $a_{n+1}$ とします。$a_2$, $a_3$ の値を求め、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$t = 3^x$ とおくと、$0 \le x \le 2$ より、$3^0 \le 3^x \le 3^2$ すなわち $1 \le t \le 9$ となります。

$y = (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 5 = t^2 - 4t + 5 = (t-2)^2 + 1$

$1 \le t \le 9$ の範囲で、$y$ の最大値と最小値を求めます。

$t=1$ のとき、$y = (1-2)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$t=2$ のとき、$y = (2-2)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$

$t=9$ のとき、$y = (9-2)^2 + 1 = 49 + 1 = 50$

$x=1$ のとき、$t = 3^1 = 3$ なので、$y = (3-2)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$ ではありません。$y$ は $x=2$ で最大値を取ります。$x=2$ のとき、$t = 3^2 = 9$ なので、$y = (9-2)^2 + 1 = 49 + 1 = 50$ です。

$x = \log_3 5$ のとき、$t = 3^{\log_3 5} = 5$ なので、$y = (5-2)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$ です。

$x=2$のとき最大値 $50$ をとります。

$x = \log_3 5$ のとき最小値 $10$ をとります。

(2)

$a_1 = 3$ より、

$a_2 = 2a_1 - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

$a_3 = 2a_2 - 1 = 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9$

$a_{n+1} = 2a_n - 1$

$a_{n+1} = 2a_n - 1$ より、$a_{n+1} - 1 = 2a_n - 2 = 2(a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$\{b_n\}$ は公比2の等比数列となります。

$b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n = b_n + 1 = 2^n + 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 50, 最小値: 10

(2) $a_2 = 5$, $a_3 = 9$

$a_{n+1} = 2a_n - 1$ (選択肢 4)

$a_n = 2^n + 1$