8人の人を2つのグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) 分け方の総数を求めます。 (2) AとBが同じグループにならない分け方を求めます。 (3) AがBともCとも同じグループにならない分け方を求めます。

1. 問題の内容

8人の人を2つのグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) 分け方の総数を求めます。

(2) AとBが同じグループにならない分け方を求めます。

(3) AがBともCとも同じグループにならない分け方を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 8人を2つのグループに分ける総数を求めます。

各人は2つのグループのどちらかに属するので、分け方は$2^8$通りあります。ただし、すべて片方のグループに入る場合（全員が同じグループに入る場合）は除き、またグループの区別がないので2で割る必要があります。ただし、グループの人数が0人の場合を除外する必要があるため、注意が必要です。

全事象は$2^8$通りあり、ここから全員が同じグループに属する場合の2通りを引いて2で割ると、分け方の総数は$(2^8 - 2)/2 = (256-2)/2 = 254/2 = 127$となります。

(2) AとBが異なるグループになる分け方を考えます。

まず、Aのグループを決めます。次に、BはAとは異なるグループに入るようにします。残りの6人はどちらのグループに入っても良いので、$2^6$通りあります。

したがって、AとBが異なるグループになる分け方は、$2^6=64$通りです。

(3) AがBともCとも同じグループにならない分け方を考えます。

まず、Aのグループを決めます。次に、BとCはAとは異なるグループに入るようにします。残りの5人はどちらのグループに入っても良いので、$2^5$通りあります。

したがって、AがBともCとも同じグループにならない分け方は、$2^5 = 32$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 127通り

(2) 64通り

(3) 32通り