YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。 (1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。 (2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。

(1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。

(2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

YOKOHAMAの8文字のうち、偶数番目は4つ。その4つの場所にO, O, A, Aを並べる。Oが2つ、Aが2つあるので、その並べ方は $\frac{4!}{2!2!}$ 通り。

残りのY, K, H, Mの4文字を残り4つの奇数番目に並べる。これは4!通り。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方の総数は、

$\frac{4!}{2!2!} \times 4!$ 通り。

(2)

Y, K, H, Mをすべて同じ文字□とみなす。すると、YOKOHAMAは□O□OAA□□となる。この並べ方は $\frac{8!}{4!2!}$ 通り。

ここで、□を左から順にY, K, H, Mに置き換えることで、Y, K, H, Mがこの順に並ぶ並べ方が求まる。

したがって、Y, K, H, Mがこの順にある並べ方の総数は、$\frac{8!}{4!2!}$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4!}{2!2!} \times 4! = \frac{24}{2 \times 2} \times 24 = 6 \times 24 = 144$ 通り

(2) $\frac{8!}{4!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} = 8 \times 7 \times 3 \times 5 = 840$ 通り

(1) 144通り

(2) 840通り