母音a, i, u, e (4個) と子音b, c, d, f (4個) を1列に並べる。 (1) 子音4個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。 (2) 両端が子音である並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音a, i, u, e (4個) と子音b, c, d, f (4個) を1列に並べる。

(1) 子音4個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。

(2) 両端が子音である並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 子音4個が続いて並ぶ場合:

まず、子音4個を一つの塊として考える。この塊と4個の母音を並べるので、合計5個のものを並べることになる。

5個のものの並べ方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

次に、子音4個の塊の中で、子音の並び順を考える。子音は4個あるので、並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

したがって、子音4個が続いて並ぶ並べ方は $120 \times 24 = 2880$ 通り。

(2) 両端が子音である場合:

まず、両端に置く子音を選ぶ。4個の子音から2個選んで並べるので、並べ方は $P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$ 通り。

次に、残りの6個の文字（母音4個と子音2個）を並べる。6個のものの並べ方は $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通り。

したがって、両端が子音である並べ方は $12 \times 720 = 8640$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 2880通り

(2) 8640通り