先生2人と生徒8人が円形のテーブルのまわりに座るとき、以下の座り方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 先生2人が向かい合う。 (2) 先生2人が隣り合う。

1. 問題の内容

先生2人と生徒8人が円形のテーブルのまわりに座るとき、以下の座り方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 先生2人が向かい合う。

(2) 先生2人が隣り合う。

2. 解き方の手順

(1) 先生2人が向かい合う場合：

まず、円形のテーブルなので、1人の先生の位置を固定します。すると、もう1人の先生は、その向かい側に座るしかありません。

残りの8人の生徒は、残りの8席に自由に座ることができます。これは8人の順列なので、 $8!$ 通りです。

したがって、先生2人が向かい合う座り方は $8!$ 通りです。

(2) 先生2人が隣り合う場合：

まず、先生2人を1つのグループとして考えます。このグループと生徒8人の計9個のものを円形に並べる順列は、 $(9-1)! = 8!$ 通りです。

しかし、先生2人のグループ内で、先生の座る順番が2通り（A先生が左、B先生が右、またはその逆）あります。

したがって、先生2人が隣り合う座り方は $8! \times 2$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 先生2人が向かい合う座り方： $8! = 40320$ 通り

(2) 先生2人が隣り合う座り方： $8! \times 2 = 40320 \times 2 = 80640$ 通り