1から5までの数字が書かれた5枚のカードがある。 (1) 5枚のカードの並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 奇数のカードと偶数のカードが交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか。また、1と2のカードが隣り合う並べ方は全部で何通りあるか。 (3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードがある。

(1) 5枚のカードの並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 奇数のカードと偶数のカードが交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか。また、1と2のカードが隣り合う並べ方は全部で何通りあるか。

(3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5枚のカードを並べる順列の総数を求める。これは5の階乗で計算できる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 奇数のカード（1, 3, 5）と偶数のカード（2, 4）が交互に並ぶ場合、奇数が先頭に来る場合と偶数が先頭に来る場合がある。

奇数が先頭の場合: 1, 3, 5の並べ方が$3!$通り、2, 4の並べ方が$2!$通り。よって、$3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$通り。

偶数が先頭の場合: 2, 4の並べ方が$2!$通り、1, 3, 5の並べ方が$3!$通り。よって、$2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$通り。

したがって、交互に並ぶ並べ方は $12 + 12 = 24$通り。

1と2のカードが隣り合う場合、1と2をひとまとめにして考える。 (1, 2) または (2, 1) の順で隣り合う。

(1, 2) を一つのまとまりと考えると、(1, 2), 3, 4, 5 の4つを並べることになる。並べ方は $4! = 24$通り。

同様に (2, 1) を一つのまとまりと考えると、(2, 1), 3, 4, 5 の4つを並べることになる。並べ方は $4! = 24$通り。

したがって、1と2が隣り合う並べ方は $24 + 24 = 48$通り。

(3) どの隣り合う2枚のカードも、カードに書かれた数の和が5以上になる並べ方を考える。

考えられるカードの組み合わせは以下の通り。

1+2 = 3

1+3 = 4

1+4 = 5

1+5 = 6

2+3 = 5

2+4 = 6

2+5 = 7

3+4 = 7

3+5 = 8

4+5 = 9

条件を満たす並びを見つけるのは難しいので、余事象を考える。しかし、直接数え上げた方が早い。

条件を満たす並び方は以下の8通りである。

3, 2, 4, 1, 5

3, 5, 1, 4, 2

4, 1, 3, 5, 2

4, 2, 5, 1, 3

4, 2, 5, 3, 1

5, 1, 4, 2, 3

5, 2, 4, 1, 3

5, 3, 1, 4, 2

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 交互に並ぶ並べ方: 24通り、1と2が隣り合う並べ方: 48通り

(3) 8通り