順列の計算問題を解く。具体的には、(1) $5P_3$、(2) $7P_4$、(3) $5P_5$、(4) $3P_1$、(5) $4!$、(6) $\frac{9!}{7!}$、(7) $8P_2 + 5P_2$、(8) $4P_2 \times 3!$ の値を計算する。

1. 問題の内容

順列の計算問題を解く。具体的には、(1) $5P_3$、(2) $7P_4$、(3) $5P_5$、(4) $3P_1$、(5) $4!$、(6) $\frac{9!}{7!}$、(7) $8P_2 + 5P_2$、(8) $4P_2 \times 3!$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

順列 $nPr$ の定義は $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ である。階乗 $n!$ は $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$ である。これらを用いて計算する。

(1) $5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) $7P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(3) $5P_5 = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ (0! = 1)

(4) $3P_1 = \frac{3!}{(3-1)!} = \frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$

(5) $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(6) $\frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 8 = 72$

(7) $8P_2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$

$5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$

$8P_2 + 5P_2 = 56 + 20 = 76$

(8) $4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4P_2 \times 3! = 12 \times 6 = 72$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) 840

(3) 120

(4) 3

(5) 24

(6) 72

(7) 76

(8) 72