与えられた5つの問題は順列と組み合わせに関する問題です。 (1) 1から8までの数字から4つを選んで並べる順列の数を求める。 (2) 1から9までの数字から2つを選んで並べて2桁の整数を作る場合の数を求める。 (3) "spring"という単語の6文字を並べ替えてできる順列の数を求める。 (4) 10人の中から部長と副部長を1人ずつ選ぶ場合の数を求める。ただし、兼任は不可。 (5) 4つの部屋に3人が1人ずつ入る場合の数を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題は順列と組み合わせに関する問題です。

(1) 1から8までの数字から4つを選んで並べる順列の数を求める。

(2) 1から9までの数字から2つを選んで並べて2桁の整数を作る場合の数を求める。

(3) "spring"という単語の6文字を並べ替えてできる順列の数を求める。

(4) 10人の中から部長と副部長を1人ずつ選ぶ場合の数を求める。ただし、兼任は不可。

(5) 4つの部屋に3人が1人ずつ入る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 順列の問題。8個から4個を選んで並べるので、順列の公式 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ を利用する。

$P(8, 4) = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5$

(2) 順列の問題。9個から2個を選んで並べるので、順列の公式 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ を利用する。

$P(9, 2) = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 9 \times 8$

(3) "spring"という単語は6文字だが、"p"が2つある。同じものを含む順列の公式 $\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}$ を利用する。

この場合、$n = 6, n_1 = 2$ (pが2つ) なので、$\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}$

(4) 順列の問題。10人から2人を選び、部長と副部長の役職を割り当てるので、順列の公式 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ を利用する。

$P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9$

(5) 組み合わせの問題。4つの部屋から3つを選び、3人のうち誰がどの部屋に入るかを考える。まず、4つの部屋から3つを選ぶ組み合わせは $\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り。

次に、選ばれた3つの部屋に3人が入る順列は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、全体の組み合わせは $4 \times 6$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ 通り

(2) $9 \times 8 = 72$ 通り

(3) $\frac{6!}{2!} = 360$ 通り

(4) $10 \times 9 = 90$ 通り

(5) $4 \times 6 = 24$ 通り