YOKOHAMAの8文字を1列に並べる問題です。 (1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるかを求めます。 (2) Y, K, H, M がこの順にある並べ方は何通りあるかを求めます。ただし、Y, K, H, M の 4 つを区別しないものとします。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる問題です。

(1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるかを求めます。

(2) Y, K, H, M がこの順にある並べ方は何通りあるかを求めます。ただし、Y, K, H, M の 4 つを区別しないものとします。

2. 解き方の手順

(1)

YOKOHAMA の8文字のうち、偶数番目は4つあります。その4つの場所にOとAを配置することを考えます。Oは2つ、Aは1つなので、4つの場所からOを配置する場所を2つ選び、残りの2箇所からAを配置する場所を1つ選びます。残りの1箇所にはOまたはAではない文字を入れます。しかし、ここでは、まず偶数番目にO, O, Aを配置する方法を考えます。

偶数番目の4つの位置から、O,O,A を配置する方法は、$\frac{4!}{2!1!} = 12$通りです。

残りの4文字 Y, K, H, M を残りの奇数番目の4つの位置に並べる方法は $4! = 24$通りです。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は、$12 \times 24 = 288$通りです。

(2)

YOKOHAMAの8文字を並べる際、Y, K, H, Mの順番が固定されているとします。この4文字の順番を無視し、同じ文字とみなすと、並べ方は $\frac{8!}{2!2!}$ となります。Oが2つ、Aが1つ、Hが1つ、Yが1つ、Kが1つ、Mが1つあります。

Y, K, H, Mをすべて同じ文字として扱う場合、同じものを含む順列の公式を使います。Y, K, H, Mの代わりに、例えばすべて「X」という文字を使うと考えると、YOKOHAMAの8文字はOOAAXXXXとなります。この8文字の並べ方は、

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 6 = 10080$

しかし、Y, K, H, Mの順番を固定しているので、YOKOHAMAの8文字の並べ方は $\frac{8!}{2!2!} / (4!) = \frac{8!}{2!2!4!} \times 4! /4!= \frac{8!}{2!2!}$ となります。Y, K, H, Mをこの順に並べるので、Y, K, H, Mを区別しないと考えた場合、8!/(2!2!)を4!で割る必要はありません。

Y, K, H, Mを並べる順番を考慮しないので、$8! / (2! 2! 1! 1! 1! 1! 1! 1!) = 10080$をY, K, H, Mの並び順である$4! = 24$で割ります。Y, K, H, Mの順序を考慮しているので、計算は

$8!/(2!2!)=10080$通り。

3. 最終的な答え

(1) 288通り

(2) 10080通り