8人を(1)A, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける場合と、(2)2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める。

1. 問題の内容

8人を(1)A, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける場合と、(2)2人ずつの4つの組に分ける場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける場合

まず8人からAの組の2人を選ぶ組み合わせは $_8C_2$ 通り。

次に残りの6人からBの組の2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通り。

次に残りの4人からCの組の2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通り。

最後に残りの2人からDの組の2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通り。

よって、A, B, C, Dの組に分ける場合の数は

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$通り。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)ではA, B, C, Dと組に区別があったが、区別がないので、A, B, C, Dの並び順の数で割る必要がある。

A, B, C, Dの並び順は4! = 24通り。

したがって、2人ずつの4つの組に分ける場合の数は、

$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{2520}{24} = 105$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り