R, I, K, O, Uの5文字を横一列に並べる。 (1) RがIより左にある並べ方の総数を求めよ。 (2) RがIより左にあり、かつ、KがOより左にある並べ方の総数を求めよ。 (3) RがIより左にあるか、または、KがOより左にある並べ方の総数を求めよ。

1. 問題の内容

R, I, K, O, Uの5文字を横一列に並べる。

(1) RがIより左にある並べ方の総数を求めよ。

(2) RがIより左にあり、かつ、KがOより左にある並べ方の総数を求めよ。

(3) RがIより左にあるか、または、KがOより左にある並べ方の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) RとIの位置関係に着目する。5文字の並べ方は全部で $5! = 120$ 通り。RとIの位置関係は、RがIより左にある場合と、IがRより左にある場合の2通りがあり、これらは同数である。

よって、RがIより左にある並べ方は $120 / 2 = 60$ 通り。

(2) RとIの位置関係、KとOの位置関係に着目する。5文字の並べ方は全部で $5! = 120$ 通り。

RとIの位置関係は2通り、KとOの位置関係も2通り。

したがって、RがIより左にあり、かつ、KがOより左にある並べ方は $120 / (2 \times 2) = 120 / 4 = 30$ 通り。

(3) RがIより左にある場合をA、KがOより左にある場合をBとする。求めるのは$|A \cup B|$である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

(1)より$|A| = 60$

同様に、$|B| = 60$

(2)より$|A \cap B| = 30$

よって、$|A \cup B| = 60 + 60 - 30 = 90$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 30通り

(3) 90通り