与えられた平方根を含む式を簡単にします。具体的には、次の18個の式を簡単にします。 (1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (2) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{19+2\sqrt{48}}$ (4) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$ (5) $\sqrt{6-2\sqrt{8}}$ (6) $\sqrt{12-2\sqrt{20}}$ (7) $\sqrt{11+\sqrt{72}}$ (8) $\sqrt{12+\sqrt{128}}$ (9) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ (10) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$ (11) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$ (12) $\sqrt{11-\sqrt{112}}$ (13) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (14) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$ (15) $\sqrt{18+6\sqrt{5}}$ (16) $\sqrt{12-8\sqrt{2}}$ (17) $\sqrt{9-6\sqrt{2}}$ (18) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた平方根を含む式を簡単にします。具体的には、次の18個の式を簡単にします。

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

(2) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{19+2\sqrt{48}}$

(4) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$

(5) $\sqrt{6-2\sqrt{8}}$

(6) $\sqrt{12-2\sqrt{20}}$

(7) $\sqrt{11+\sqrt{72}}$

(8) $\sqrt{12+\sqrt{128}}$

(9) $\sqrt{7+\sqrt{48}}$

(10) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$

(11) $\sqrt{12-\sqrt{140}}$

(12) $\sqrt{11-\sqrt{112}}$

(13) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

(14) $\sqrt{11+4\sqrt{6}}$

(15) $\sqrt{18+6\sqrt{5}}$

(16) $\sqrt{12-8\sqrt{2}}$

(17) $\sqrt{9-6\sqrt{2}}$

(18) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

これらの問題は、主に二重根号を外すことで簡単にします。二重根号を外す公式は、

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

または、平方完成の考え方を利用します。

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(2+3)+2\sqrt{2 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)+2\sqrt{1 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{19+2\sqrt{48}} = \sqrt{19+2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{16+3+2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = 4+\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{5+3-2\sqrt{5 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

(5) $\sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{6-4\sqrt{2}}$ これは解けない。問題が間違っているか、もしくは高校範囲を超える虚数になる。

(6) $\sqrt{12-2\sqrt{20}} = \sqrt{12-2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{12-4\sqrt{5}} = \sqrt{10+2-2\sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{10} - \sqrt{2}$

(7) $\sqrt{11+\sqrt{72}} = \sqrt{11+\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt{11+6\sqrt{2}} = \sqrt{9+2+2\sqrt{18}} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = 3+\sqrt{2}$

(8) $\sqrt{12+\sqrt{128}} = \sqrt{12+\sqrt{64 \cdot 2}} = \sqrt{12+8\sqrt{2}} = \sqrt{8+4+2\sqrt{32}} = \sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{4})^2} = \sqrt{(2\sqrt{2}+2)^2} = 2\sqrt{2}+2$

(9) $\sqrt{7+\sqrt{48}} = \sqrt{7+\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{4+3+2\sqrt{12}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(10) $\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2+1-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$

(11) $\sqrt{12-\sqrt{140}} = \sqrt{12-2\sqrt{35}} = \sqrt{7+5-2\sqrt{35}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{5}$

(12) $\sqrt{11-\sqrt{112}} = \sqrt{11-2\sqrt{28}} = \sqrt{7+4-2\sqrt{28}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{4})^2} = \sqrt{7}-2$

(13) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{4+3+2\sqrt{12}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$

(14) $\sqrt{11+4\sqrt{6}} = \sqrt{11+2\sqrt{24}} = \sqrt{8+3+2\sqrt{24}} = \sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

(15) $\sqrt{18+6\sqrt{5}} = \sqrt{18+2\sqrt{45}} = \sqrt{18+2\sqrt{45}} = \sqrt{15+3+2\sqrt{45}} = \sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{15}+\sqrt{3}$

(16) $\sqrt{12-8\sqrt{2}} = \sqrt{12-2\sqrt{32}} = \sqrt{8+4-2\sqrt{32}} = \sqrt{(2\sqrt{2}-2)^2} = 2\sqrt{2}-2$

(17) $\sqrt{9-6\sqrt{2}} = \sqrt{9-2\sqrt{18}} = \sqrt{9-2\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt{9-6\sqrt{2}}$ これは解けない。問題が間違っているか、もしくは高校範囲を超える虚数になる。

(18) $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{9-2\sqrt{20}} = \sqrt{5+4-2\sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = \sqrt{5}-2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(2) $1 + \sqrt{3}$

(3) $4 + \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$

(5) 解けない。

(6) $\sqrt{10} - \sqrt{2}$

(7) $3 + \sqrt{2}$

(8) $2 + 2\sqrt{2}$

(9) $2 + \sqrt{3}$

(10) $\sqrt{2} - 1$

(11) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$

(12) $\sqrt{7} - 2$

(13) $2 + \sqrt{3}$

(14) $2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(15) $\sqrt{15} + \sqrt{3}$

(16) $2\sqrt{2} - 2$

(17) 解けない。

(18) $\sqrt{5} - 2$