1から6までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつあります。サイコロを2回振ります。1回目に出た目の約数が書かれたカードを取り除き、2回目に出た目の約数が書かれたカードが残っていれば、それを取り除きます。最終的にカードが1枚だけ残る確率を求めます。

1. 問題の内容

1から6までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつあります。サイコロを2回振ります。1回目に出た目の約数が書かれたカードを取り除き、2回目に出た目の約数が書かれたカードが残っていれば、それを取り除きます。最終的にカードが1枚だけ残る確率を求めます。

2. 解き方の手順

全事象は、サイコロを2回振るので、$6 \times 6 = 36$ 通りです。

カードが1枚だけ残る場合を考えます。

(1) 1回目の操作で5が残り、2回目の操作で5が取り除かれる場合:

1回目のサイコロの目は5以外である必要があり、その約数である1は取り除かれます。つまり、1回目は1以外の目が出ます。

2回目のサイコロの目は5である必要があります。

1回目の目が2,3,4,6のどれかであり、2回目の目が5である必要があります。

(2,5), (3,5), (4,5), (6,5) の4通りです。

(2) 1回目の操作で6が残り、2回目の操作で6が取り除かれる場合:

1回目のサイコロの目は6以外である必要があり、その約数である1,2,3は取り除かれます。

2回目のサイコロの目は6である必要があります。

1回目は1,2,3以外の目、つまり4,5のどちらかである必要があります。

2回目の目は6である必要があります。

(4,6), (5,6) の2通りです。

(3) 1回目の操作で4が残り、2回目の操作で4が取り除かれる場合:

1回目のサイコロの目は4以外である必要があり、その約数である1,2は取り除かれます。

2回目のサイコロの目は4である必要があります。

1回目は1,2以外の目、つまり3,5,6のどれかである必要があります。

2回目の目は4である必要があります。

(3,4), (5,4), (6,4) の3通りです。

(4) 1回目の操作で2, 3, 5が残り、2回目の操作でそれらが取り除かれる場合:

1回目の操作で残るのは、2のみ、3のみ、あるいは5のみです。

・2のみが残る場合: 1回目に出た目は3, 4, 5, 6。2回目に出た目は2。 (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)の4通り

・3のみが残る場合: 1回目に出た目は2, 4, 5, 6。2回目に出た目は3。 (2,3), (4,3), (5,3), (6,3)の4通り

・5のみが残る場合: 1回目に出た目は2, 3, 4, 6。2回目に出た目は5。 (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)の4通り

上記より、(1),(2),(3)を合計して、4 + 2 + 3 = 9通りです。

したがって、求める確率は $9/36 = 1/4$ です。

3. 最終的な答え

1/4