$x = 1 + \sqrt{7}$ のとき、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 1 + \sqrt{7}$ のとき、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 + \sqrt{7}$ を変形します。

$x - 1 = \sqrt{7}$

両辺を2乗します。

$(x - 1)^2 = (\sqrt{7})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 7$

$x^2 - 2x - 6 = 0$

次に、$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14$ を $x^2 - 2x - 6$ で割ります。

$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = (x^2 - 2x - 6)(x^2 + 4x + 1) + (-8)$

$x^2 - 2x - 6 = 0$ であるので、

$(x^2 - 2x - 6)(x^2 + 4x + 1) = 0$

よって、

$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = 0 + (-8)$

$x^4 + 2x^3 - 12x^2 - 26x - 14 = -8$

3. 最終的な答え

-8