与えられた数式の根号を外して簡単にしてください。具体的には、次の問題について答えます。 (16) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ (17) $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}}$ (18) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ (19) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ (20) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ (21) $\sqrt{10 + 5\sqrt{3}}$ (22) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ (23) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$ (24) $\sqrt{8 - 3\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の根号を外して簡単にしてください。具体的には、次の問題について答えます。

(16) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

(17) $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}}$

(18) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$

(19) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$

(20) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$

(21) $\sqrt{10 + 5\sqrt{3}}$

(22) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

(23) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$

(24) $\sqrt{8 - 3\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

これらの問題は、二重根号を外す問題です。二重根号を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ という公式を利用します。

(16) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{12 - \sqrt{128}}$

$a=12, b=128$ より

$\sqrt{\frac{12 + \sqrt{144-128}}{2}} - \sqrt{\frac{12 - \sqrt{144-128}}{2}} = \sqrt{\frac{12+4}{2}} - \sqrt{\frac{12-4}{2}} = \sqrt{8} - \sqrt{4} = 2\sqrt{2} - 2$

(17) $\sqrt{9 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{9 - \sqrt{72}}$

$a=9, b=72$ より

$\sqrt{\frac{9 + \sqrt{81-72}}{2}} - \sqrt{\frac{9 - \sqrt{81-72}}{2}} = \sqrt{\frac{9+3}{2}} - \sqrt{\frac{9-3}{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

(18) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - \sqrt{80}}$

$a=9, b=80$ より

$\sqrt{\frac{9 + \sqrt{81-80}}{2}} - \sqrt{\frac{9 - \sqrt{81-80}}{2}} = \sqrt{\frac{9+1}{2}} - \sqrt{\frac{9-1}{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2$

(19) $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$

$a=4, b=15$ より

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{16-15}}{2}} + \sqrt{\frac{4 - \sqrt{16-15}}{2}} = \sqrt{\frac{4+1}{2}} + \sqrt{\frac{4-1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(20) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}} = \sqrt{6 + \sqrt{27}}$

$a=6, b=27$ より

$\sqrt{\frac{6 + \sqrt{36-27}}{2}} + \sqrt{\frac{6 - \sqrt{36-27}}{2}} = \sqrt{\frac{6+3}{2}} + \sqrt{\frac{6-3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

(21) $\sqrt{10 + 5\sqrt{3}} = \sqrt{10 + \sqrt{75}}$

$a=10, b=75$ より

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{100-75}}{2}} + \sqrt{\frac{10 - \sqrt{100-75}}{2}} = \sqrt{\frac{10+5}{2}} + \sqrt{\frac{10-5}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} + \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{30} + \sqrt{10}}{2}$

(22) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$a=3, b=5$ より

$\sqrt{\frac{3 + \sqrt{9-5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 - \sqrt{9-5}}{2}} = \sqrt{\frac{3+2}{2}} - \sqrt{\frac{3-2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

(23) $\sqrt{5 - \sqrt{21}}$

$a=5, b=21$ より

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{25-21}}{2}} - \sqrt{\frac{5 - \sqrt{25-21}}{2}} = \sqrt{\frac{5+2}{2}} - \sqrt{\frac{5-2}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$

(24) $\sqrt{8 - 3\sqrt{7}} = \sqrt{8 - \sqrt{63}}$

$a=8, b=63$ より

$\sqrt{\frac{8 + \sqrt{64-63}}{2}} - \sqrt{\frac{8 - \sqrt{64-63}}{2}} = \sqrt{\frac{8+1}{2}} - \sqrt{\frac{8-1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

(16) $2\sqrt{2} - 2$

(17) $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

(18) $\sqrt{5} - 2$

(19) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(20) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

(21) $\frac{\sqrt{30} + \sqrt{10}}{2}$

(22) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

(23) $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{6}}{2}$

(24) $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{14}}{2}$