行列 $Z$ と $Z$ の転置 $Z^T$ の積 $Z^T Z$ を計算し、そのトレースを求めよ。ここで、$Z$ は次のように与えられています。 $Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $Z$ と $Z$ の転置 $Z^T$ の積 $Z^T Z$ を計算し、そのトレースを求めよ。ここで、$Z$ は次のように与えられています。

$Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $Z$ の転置 $Z^T$ を求めます。転置行列は、元の行列の行と列を入れ替えることで得られます。

$Z^T = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

次に、$Z^T Z$ を計算します。これは、行列の積の定義に従って計算します。

$Z^T Z = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & -\cos\theta\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & \cos\theta\cos\phi & -\cos\theta\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$

$Z^T Z = \begin{bmatrix}

\cos^2\theta + \sin^2\theta & -\cos\theta\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\theta\sin\phi - \sin\theta\cos\theta\sin\phi \\

-\sin\theta\cos\phi\cos\theta + \cos\theta\cos\phi\sin\theta & \sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\phi & -\sin\theta\cos\phi\sin\theta\sin\phi - \cos\theta\cos\phi\cos\theta\sin\phi + \sin\phi\cos\phi \\

\sin\theta\sin\phi\cos\theta - \cos\theta\sin\phi\sin\theta & -\sin\theta\sin\phi\sin\theta\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\theta\cos\phi + \cos\phi\sin\phi & \sin^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

$Z^T Z = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos^2\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin^2\phi & -\sin\phi\cos\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin\phi\cos\phi\\

0 & -\sin\phi\cos\phi(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos\phi\sin\phi & \sin^2\phi (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos^2\phi

\end{bmatrix}$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使うと、

$Z^T Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos^2\phi + \sin^2\phi & 0 \\ 0 & 0 & \sin^2\phi + \cos^2\phi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

ここで、$I$ は単位行列です。

最後に、$Z^T Z$ のトレースを計算します。トレースは、行列の対角成分の和です。

$Tr(Z^T Z) = 1 + 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

$Tr(Z^T Z) = 3$