自然数 $m$ に関する2つの条件 $p$: $m$ は5の約数, $q$: $m$ は15の約数について、以下の問いに答える。 (1) $p, q$ を満たすもの全体の集合 $P, Q$ をそれぞれ求めよ。 (2) 命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合 $P, Q$ を用いて調べよ。

1. 問題の内容

自然数 $m$ に関する2つの条件 $p$: $m$ は5の約数, $q$: $m$ は15の約数について、以下の問いに答える。

(1) $p, q$ を満たすもの全体の集合 $P, Q$ をそれぞれ求めよ。

(2) 命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合 $P, Q$ を用いて調べよ。

2. 解き方の手順

(1)

集合 $P$ は、5の約数全体の集合である。5の約数は1と5なので、$P = \{1, 5\}$。

集合 $Q$ は、15の約数全体の集合である。15の約数は1, 3, 5, 15なので、$Q = \{1, 3, 5, 15\}$。

(2)

命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を調べる。

命題 $p \Rightarrow q$ が真であるとは、「$p$ ならば $q$ である」が常に成り立つことである。

集合 $P$ の要素がすべて集合 $Q$ の要素であれば、命題 $p \Rightarrow q$ は真である。

集合 $P = \{1, 5\}$ であり、集合 $Q = \{1, 3, 5, 15\}$ である。

$P$ の要素である1と5は、いずれも $Q$ の要素である。

したがって、$P \subseteq Q$ であるから、命題 $p \Rightarrow q$ は真である。

3. 最終的な答え

(1)

$P = \{1, 5\}$

$Q = \{1, 3, 5, 15\}$

(2)

真