実数 $x$ に関する2つの条件 $p: x > -1$ と $q: x \geq 0$ が与えられている。命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合を用いて調べる。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する2つの条件 $p: x > -1$ と $q: x \geq 0$ が与えられている。命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を、集合を用いて調べる。

2. 解き方の手順

条件 $p$ を満たす $x$ の集合を $P$、条件 $q$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{x | x > -1\}$

$Q = \{x | x \geq 0\}$

命題 $p \Rightarrow q$ が真であるためには、$P \subset Q$ が成り立つ必要がある。つまり、$P$ の要素が全て $Q$ の要素である必要がある。

$P$ は $-1$ より大きい全ての $x$ の集合、$Q$ は $0$ 以上の全ての $x$ の集合である。

$P$ には、例えば $-0.5$ のような、$0$ より小さい $x$ が含まれている。しかし、$Q$ には $-0.5$ は含まれていない。

したがって、$P \subset Q$ は成り立たない。

$P$ に含まれるが、$Q$ に含まれない要素が存在するため、命題 $p \Rightarrow q$ は偽である。

3. 最終的な答え

偽