P, Q, R, Sの4人が100点満点のゲームをした結果、以下の情報が得られた。 I. 4人の平均点は60点 II. QとRの平均点は50点であり、QとRの得点は異なる III. SはPよりも10点高い これらの情報I, II, IIIに加えて、以下の情報ア、イ、ウのうちどれを加えれば4人の点数がすべて確定するかを問う問題。 ア. Qは4人の中で最低点である イ. QとSの平均点は70点である ウ. 4人の中で得点が同じ人がいる

1. 問題の内容

P, Q, R, Sの4人が100点満点のゲームをした結果、以下の情報が得られた。

I. 4人の平均点は60点

II. QとRの平均点は50点であり、QとRの得点は異なる

III. SはPよりも10点高い

これらの情報I, II, IIIに加えて、以下の情報ア、イ、ウのうちどれを加えれば4人の点数がすべて確定するかを問う問題。

ア. Qは4人の中で最低点である

イ. QとSの平均点は70点である

ウ. 4人の中で得点が同じ人がいる

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を数式で表す。

4人の得点をそれぞれ $P, Q, R, S$ とする。

Iより、

$\frac{P + Q + R + S}{4} = 60$

$P + Q + R + S = 240$ (1)

IIより、

$\frac{Q + R}{2} = 50$

$Q + R = 100$ (2)

$Q \ne R$

IIIより、

$S = P + 10$ (3)

(1)に(2), (3)を代入すると、

$P + 100 + P + 10 = 240$

$2P = 130$

$P = 65$

(3)より、

$S = 65 + 10 = 75$

(2)より、$R = 100 - Q$

したがって、$P = 65, S = 75, Q, R = 100 - Q$ が現時点でわかっている情報である。

これだけではQとRの値を特定できない。

ア. Qが4人の中で最低点である場合： $Q < 65$ かつ $Q < 75$ かつ $Q < 100 - Q$を満たす。

$2Q < 100$ より、$Q < 50$

この条件だけではQの値は特定できない。

イ. QとSの平均点は70点である場合：

$\frac{Q + S}{2} = 70$

$Q + S = 140$

$Q + 75 = 140$

$Q = 65$

このとき、$R = 100 - 65 = 35$

したがって、アとイを組み合わせると、

$P = 65, Q = 65, R = 35, S = 75$となる。これは、$Q \ne R$に反する。

つまりアとイを加えても点数をすべて特定できない。

ウ. 4人の中で得点が同じ人がいる場合：

すでに$P = 65$ かつ $S = 75$ がわかっているので、QまたはRが65か75に等しい場合を検討する。

- Q = 65 のとき, R = 35 となる。

- R = 65 のとき, Q = 35 となる。

- Q = 75 のとき, R = 25 となる。

- R = 75 のとき, Q = 25 となる。

イ. QとSの平均点は70点である場合を仮定すると、$Q = 70 \times 2 - S = 140 - 75 = 65$ となり、$R = 100 - 65 = 35$となる。

このとき、P = Q = 65となり、ウの条件を満たす。

以上をまとめると、I, II, IIIの情報に加え、イの情報があれば、$P=65$, $S=75$, $Q=65$, $R=35$と確定する。

3. 最終的な答え

イだけ