2つの二次方程式 $2x^2 + 3x - m = 0$ と $x^2 - 4x + 2k - 1 = 0$ がともに実数解を持つような $m$ と $k$ の条件を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $2x^2 + 3x - m = 0$ と $x^2 - 4x + 2k - 1 = 0$ がともに実数解を持つような $m$ と $k$ の条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ となることです。

まず、1つ目の二次方程式 $2x^2 + 3x - m = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 9 + 8m$

これが $D_1 \ge 0$ となるためには、

$9 + 8m \ge 0$

$8m \ge -9$

$m \ge -\frac{9}{8}$

次に、2つ目の二次方程式 $x^2 - 4x + 2k - 1 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k - 1) = 16 - 8k + 4 = 20 - 8k$

これが $D_2 \ge 0$ となるためには、

$20 - 8k \ge 0$

$-8k \ge -20$

$k \le \frac{20}{8}$

$k \le \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$m \ge -\frac{9}{8}$

$k \le \frac{5}{2}$