$x$ の2次関数 $y = -2x^2 + 6x - a$ の最大値が $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次関数 $y = -2x^2 + 6x - a$ の最大値が $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = -2x^2 + 6x - a$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 3x) - a$

$y = -2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - a$

$y = -2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - a$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - a$

この2次関数は $x = \frac{3}{2}$ のとき最大値をとり、最大値は $\frac{9}{2} - a$ です。

問題文より、最大値が $4$ であるので、

$\frac{9}{2} - a = 4$

$a = \frac{9}{2} - 4$

$a = \frac{9}{2} - \frac{8}{2}$

$a = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$