$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の恒等式を利用します。

まず、$\cos^2 \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ここで、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\theta$ は第2象限の角であり、$\cos \theta$ は負の値を取ります。

よって、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使って $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$