2次関数 $y = 2x^2 + x + k$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + x + k$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = 2x^2 + x + k$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $2x^2 + x + k = 0$ の実数解の個数に等しくなります。

2次方程式の実数解の個数は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

$D > 0$ ならば実数解は2個、$D = 0$ ならば実数解は1個（重解）、$D < 0$ ならば実数解は0個です。

2次方程式 $2x^2 + x + k = 0$ の判別式 $D$ は、

$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot k = 1 - 8k$$

となります。

$D$ の符号によって場合分けを行います。

(1) $D > 0$ のとき、すなわち $1 - 8k > 0$ のとき、$k < \frac{1}{8}$ です。このとき、共有点は2個です。

(2) $D = 0$ のとき、すなわち $1 - 8k = 0$ のとき、$k = \frac{1}{8}$ です。このとき、共有点は1個です。

(3) $D < 0$ のとき、すなわち $1 - 8k < 0$ のとき、$k > \frac{1}{8}$ です。このとき、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

$k < \frac{1}{8}$ のとき、共有点は2個。

$k = \frac{1}{8}$ のとき、共有点は1個。

$k > \frac{1}{8}$ のとき、共有点は0個。