$a, b$ を実数とするとき、3次方程式 $x^3 - ax^2 + bx + 13 = 0$ が $3+2i$ を解に持つ。このとき、$a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とするとき、3次方程式 $x^3 - ax^2 + bx + 13 = 0$ が $3+2i$ を解に持つ。このとき、$a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$a, b$ は実数なので、方程式の係数も実数である。したがって、$3+2i$ が解ならば、$3-2i$ も解である。

もう一つの解を $c$ とすると、解と係数の関係より

\begin{align*}

(3+2i) + (3-2i) + c &= a \\

(3+2i)(3-2i) + (3+2i)c + (3-2i)c &= b \\

(3+2i)(3-2i)c &= -13

\end{align*}

1つ目の式は

$6 + c = a$

2つ目の式は

$9 - (2i)^2 + 3c + 2ic + 3c - 2ic = 9 + 4 + 6c = 13 + 6c = b$

3つ目の式は

$(9 - (2i)^2)c = (9 + 4)c = 13c = -13$

したがって、

$c = -1$

$a = 6 + c = 6 + (-1) = 5$

$b = 13 + 6c = 13 + 6(-1) = 13 - 6 = 7$

他の解は、$3-2i$ と $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 7$

他の解は $3-2i$ と $-1$ である。