関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値を、$a$ の値の範囲によって求めます。今回は、(1) $a < -1$, (2) $-1 \le a \le 0$, (3) $0 < a$ の3つの場合について最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ の $-2 \le x \le 0$ における最大値を、$a$ の値の範囲によって求めます。今回は、(1) $a < -1$, (2) $-1 \le a \le 0$, (3) $0 < a$ の3つの場合について最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

これにより、放物線の頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ であることがわかります。このグラフは上に凸であるため、最大値は定義域 $-2 \le x \le 0$ における頂点の位置関係によって変わります。

(1) $a < -1$ の場合

頂点の $x$ 座標 $2a$ は $2a < -2$ となり、定義域 $-2 \le x \le 0$ の左側にあります。したがって、$x = -2$ で最大値をとります。

$x = -2$ を代入すると、

$y = -(-2)^2 + 4a(-2) - a = -4 - 8a - a = -9a - 4$

(2) $-1 \le a \le 0$ の場合

頂点の $x$ 座標 $2a$ について、$-2 \le 2a \le 0$ となり、頂点は定義域 $-2 \le x \le 0$ 内に存在します。

したがって、最大値は頂点の $y$ 座標 $4a^2 - a$ となります。

(3) $0 < a$ の場合

頂点の $x$ 座標 $2a$ は $0 < 2a$ となり、定義域 $-2 \le x \le 0$ の右側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値をとります。

$x = 0$ を代入すると、

$y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

3. 最終的な答え

(1) $a < -1$ のとき、最大値は $-9a - 4$

(2) $-1 \le a \le 0$ のとき、最大値は $4a^2 - a$

(3) $0 < a$ のとき、最大値は $-a$