与えられた一次関数について、指定された定義域における値域を求め、最大値と最小値を求めます。 (1) $y = 2x + 3$ ($-1 \le x \le 1$) (2) $y = -3x - 2$ ($-3 < x \le -1$) (3) $y = -x + 4$ ($x > -1$) (4) $y = \frac{1}{2}x - 1$ ($x \le 4$)

1. 問題の内容

与えられた一次関数について、指定された定義域における値域を求め、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = 2x + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

(2) $y = -3x - 2$ ($-3 < x \le -1$)

(3) $y = -x + 4$ ($x > -1$)

(4) $y = \frac{1}{2}x - 1$ ($x \le 4$)

2. 解き方の手順

各関数について、定義域の端点の値を計算し、値域を求めます。定義域に上限と下限が含まれる場合は、最大値と最小値が存在します。定義域に上限または下限が含まれない場合は、最大値または最小値が存在しない場合があります。

(1) $y = 2x + 3$ について、

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1) + 3 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) + 3 = 5$

したがって、$-1 \le x \le 1$ のときの値域は $1 \le y \le 5$ です。

最小値は $1$ (x = -1のとき)、最大値は $5$ (x = 1のとき)です。

(2) $y = -3x - 2$ について、

$x = -3$ のとき、$y = -3(-3) - 2 = 7$

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1) - 2 = 1$

$x > -3$ であるので、$y<7$となります。したがって、$-3 < x \le -1$ のときの値域は $1 \le y < 7$ です。

最小値は $1$ (x = -1のとき)ですが、最大値はありません。

(3) $y = -x + 4$ について、

$x > -1$ であるので、

$x = -1$ のとき、$y = -(-1) + 4 = 5$

したがって、 $x > -1$ のときの値域は $y < 5$ です。

最大値はありません。最小値もありません。

(4) $y = \frac{1}{2}x - 1$ について、

$x \le 4$ であるので、

$x = 4$ のとき、$y = \frac{1}{2}(4) - 1 = 1$

したがって、$x \le 4$ のときの値域は $y \le 1$ です。

最大値は $1$ (x = 4のとき)ですが、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 値域: $1 \le y \le 5$、最小値: $1$、最大値: $5$

(2) 値域: $1 \le y < 7$、最小値: $1$、最大値: なし

(3) 値域: $y < 5$、最小値: なし、最大値: なし

(4) 値域: $y \le 1$、最小値: なし、最大値: $1$