問題18の(1)と(2)について解答します。 (1) $x+y+z=7$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。 (2) $x+y+z=9$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

問題18の(1)と(2)について解答します。

(1) $x+y+z=7$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

(2) $x+y+z=9$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x+y+z=7$ を満たす負でない整数解の個数は、重複組み合わせの問題として解けます。

7個のものを3つのグループに分ける方法を考えるので、$H_3(7)$を計算します。

$H_3(7) = \binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 個

(2) $x+y+z=9$ を満たす正の整数解の個数は、$x, y, z$ が正の整数であることから、$x=x'+1$, $y=y'+1$, $z=z'+1$ とおくと、$x', y', z'$ は負でない整数となり、$x'+1+y'+1+z'+1=9$、つまり $x'+y'+z'=6$ を満たす負でない整数解の個数を求める問題に帰着されます。

これは $H_3(6)$ を計算することで求められます。

$H_3(6) = \binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 個

3. 最終的な答え

(1) 36個

(2) 28個