$a$ は定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ $(-2 \le x \le 0)$ の最大値を、$a < -1$ の場合に求める。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ $(-2 \le x \le 0)$ の最大値を、$a < -1$ の場合に求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

したがって、頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ である。

定義域は $-2 \le x \le 0$ である。

(1) $a < -1$ のとき、 $2a < -2$ であるから、軸 $x = 2a$ は定義域の左側に存在する。

したがって、定義域内で $x$ が増加するにつれて $y$ は減少するので、$x = -2$ のとき最大値をとる。

$x = -2$ を代入すると、

$y = -(-2)^2 + 4a(-2) - a = -4 - 8a - a = -9a - 4$

したがって、最大値は $-9a - 4$ である。

3. 最終的な答え

$a < -1$ のとき、最大値は $-9a - 4$