$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \leq x \leq a$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。
2025/7/6
1. 問題の内容
は正の定数とする。関数 () について、以下の問いに答える。
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。
2. 解き方の手順
まず、与えられた二次関数を平方完成する。
よって、この二次関数の頂点は である。また、 の係数が負であるため、上に凸なグラフになる。
(1) 最大値について考える。
定義域が であることを考慮する。頂点の 座標が であるため、軸 が定義域に含まれるかどうかで場合分けを行う。
(i) のとき、定義域の範囲内では で最大値をとる。このとき、最大値は となる。
(ii) のとき、定義域の範囲内では で最大値をとる。このとき、最大値は となる。
(2) 最小値について考える。
定義域が であることを考慮する。
最小値は、軸から最も離れた の値でとる。
(i) のとき、定義域の右端 で最小値をとる。最小値は となる。
(ii) のとき、定義域の左端 で最小値をとる。最小値は となる。
まとめると、
(1) 最大値
のとき、最大値は
(2) 最小値
(i) のとき、最小値は
(ii) のとき、最小値は
3. 最終的な答え
(1) 最大値: 5
(2) 最小値:
のとき
のとき 1