$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \leq x \leq a$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

代数学二次関数最大値最小値定義域場合分け
2025/7/6

1. 問題の内容

aa は正の定数とする。関数 y=x2+4x+1y = -x^2 + 4x + 1 (0xa0 \leq x \leq a) について、以下の問いに答える。
(1) 最大値を求めよ。
(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。
y=x2+4x+1=(x24x)+1=(x24x+44)+1=(x2)2+4+1=(x2)2+5y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5
よって、この二次関数の頂点は (2,5)(2, 5) である。また、x2x^2 の係数が負であるため、上に凸なグラフになる。
(1) 最大値について考える。
定義域が 0xa0 \leq x \leq a であることを考慮する。頂点の xx 座標が x=2x = 2 であるため、軸 x=2x = 2 が定義域に含まれるかどうかで場合分けを行う。
(i) 0<a20 < a \leq 2 のとき、定義域の範囲内では x=2x = 2 で最大値をとる。このとき、最大値は y=5y = 5 となる。
(ii) a>2a > 2 のとき、定義域の範囲内では x=2x = 2 で最大値をとる。このとき、最大値は y=5y = 5 となる。
(2) 最小値について考える。
定義域が 0xa0 \leq x \leq a であることを考慮する。
最小値は、軸から最も離れた xx の値でとる。
(i) 0<a40 < a \leq 4 のとき、定義域の右端 x=ax = a で最小値をとる。最小値は y=a2+4a+1y = -a^2 + 4a + 1 となる。
(ii) a>4a > 4 のとき、定義域の左端 x=0x = 0 で最小値をとる。最小値は y=02+4(0)+1=1y = -0^2 + 4(0) + 1 = 1 となる。
まとめると、
(1) 最大値
a>0a > 0 のとき、最大値は 55
(2) 最小値
(i) 0<a40 < a \leq 4 のとき、最小値は a2+4a+1-a^2 + 4a + 1
(ii) a>4a > 4 のとき、最小値は 11

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5
(2) 最小値:
0<a40 < a \leq 4 のとき a2+4a+1-a^2 + 4a + 1
a>4a > 4 のとき 1

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