$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が 15 で、最小値が -3 である。定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が 15 で、最小値が -3 である。定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = ax^2 - 4ax + b = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

したがって、この関数の軸は $x = 2$ である。

定義域 $0 \le x \le 5$ に軸 $x = 2$ が含まれているので、頂点で最小値を取る。

したがって、最小値は $-4a + b = -3$ である。

次に、最大値を考える。$a > 0$ なので、放物線は下に凸である。軸 $x = 2$ から遠いほど値が大きくなるので、$x = 0$ と $x = 5$ の値を比較する。

$x = 0$ のとき、$y = a(0)^2 - 4a(0) + b = b$

$x = 5$ のとき、$y = a(5)^2 - 4a(5) + b = 25a - 20a + b = 5a + b$

$x = 5$ の方が軸から遠いので、$x = 5$ で最大値を取る。したがって、$5a + b = 15$ である。

これで連立方程式が得られた。

$-4a + b = -3$

$5a + b = 15$

この連立方程式を解く。2式を引き算すると、

$(5a + b) - (-4a + b) = 15 - (-3)$

$9a = 18$

$a = 2$

$-4a + b = -3$ に $a = 2$ を代入すると、

$-4(2) + b = -3$

$-8 + b = -3$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 5$