問題は2つの部分に分かれています。 (1) ベクトル $\vec{a} = e_1 a_1 + e_2 a_2$ と $\vec{b} = e_1 b_1 + e_2 b_2$ が与えられています。$a_1 = 8$, $a_2 = 4$, $b_1 = 3$, $b_2 = 6$ のとき、外積の分配法則を使って $\vec{a} \wedge \vec{b}$ を計算し、$\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$ の何倍になるかを求めます。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合として与えられたベクトルについて、連立方程式を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) ベクトル $\vec{a} = e_1 a_1 + e_2 a_2$ と $\vec{b} = e_1 b_1 + e_2 b_2$ が与えられています。$a_1 = 8$, $a_2 = 4$, $b_1 = 3$, $b_2 = 6$ のとき、外積の分配法則を使って $\vec{a} \wedge \vec{b}$ を計算し、$\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$ の何倍になるかを求めます。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合として与えられたベクトルについて、連立方程式を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 外積 $\vec{a} \wedge \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \wedge \vec{b} = (e_1 a_1 + e_2 a_2) \wedge (e_1 b_1 + e_2 b_2)$

$= e_1 a_1 \wedge e_1 b_1 + e_1 a_1 \wedge e_2 b_2 + e_2 a_2 \wedge e_1 b_1 + e_2 a_2 \wedge e_2 b_2$

ここで、$e_1 \wedge e_1 = 0$ と $e_2 \wedge e_2 = 0$, $e_2 \wedge e_1 = - (e_1 \wedge e_2)$ を使います。

$= a_1 b_1 (e_1 \wedge e_1) + a_1 b_2 (e_1 \wedge e_2) + a_2 b_1 (e_2 \wedge e_1) + a_2 b_2 (e_2 \wedge e_2)$

$= a_1 b_2 (e_1 \wedge e_2) - a_2 b_1 (e_1 \wedge e_2)$

$= (a_1 b_2 - a_2 b_1) (e_1 \wedge e_2)$

与えられた値を代入します。

$= (8 \cdot 6 - 4 \cdot 3) (e_1 \wedge e_2)$

$= (48 - 12) (e_1 \wedge e_2)$

$= 36 (e_1 \wedge e_2)$

したがって、$\vec{a} \wedge \vec{b}$ は $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$ の 36 倍です。

(2) 線形結合の問題を解きます。

$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} c_1 + \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} c_2 = \begin{pmatrix} 25 \\ 26 \end{pmatrix}$

これは以下の連立方程式を意味します。

$8c_1 + 3c_2 = 25$

$4c_1 + 6c_2 = 26$

2番目の式を2倍すると、$8c_1 + 12c_2 = 52$となります。

1番目の式からこれを引くと、$-9c_2 = -27$となり、$c_2 = 3$が得られます。

$8c_1 + 3(3) = 25$ より、$8c_1 + 9 = 25$ です。

$8c_1 = 16$ なので、$c_1 = 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \wedge \vec{b}$ は $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$ の 36 倍です。

(2) $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ です。