問題は以下の通りです。 (A) $2 < x < 3$ のとき $0 < (x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$ を証明し、 (B) $0 < \int_2^3 \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} dx < \frac{2}{3}$ を(A)を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(A) $2 < x < 3$ のとき $0 < (x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$ を証明し、

(B) $0 < \int_2^3 \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} dx < \frac{2}{3}$ を(A)を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

(A)の証明：

$2 < x < 3$のとき、$x-2 > 0$かつ$x-3 < 0$です。したがって、$(x-3)^2 > 0$であり、$(x-2) > 0$なので、$(x-3)^2 (x-2) > 0$が成り立ちます。

次に、$(x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$を証明します。

$f(x) = (x-3)^2 (x-2)$とおきます。

$f'(x) = 2(x-3)(x-2) + (x-3)^2 = (x-3)(2x-4+x-3) = (x-3)(3x-7)$

$f'(x) = 0$となるのは、$x=3$または$x=\frac{7}{3}$のときです。

$2 < x < 3$の範囲で考えると、$x = \frac{7}{3}$のときに$f(x)$は最大値を取ります。

$f(\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3}-3)^2 (\frac{7}{3}-2) = (\frac{7-9}{3})^2 (\frac{7-6}{3}) = (\frac{-2}{3})^2 (\frac{1}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

したがって、$2 < x < 3$のとき、$0 < (x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$が成り立ちます。

(B)の証明：

(A)の結果より、$0 < (x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$が成り立ちます。

よって、$0 < 2(x-3)^2 (x-2) \leq \frac{8}{27}$です。

したがって、$0 < \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} \leq \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$です。

したがって、

$0 < \int_2^3 \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} dx \leq \int_2^3 \frac{2\sqrt{6}}{9} dx = \frac{2\sqrt{6}}{9} \int_2^3 dx = \frac{2\sqrt{6}}{9} [x]_2^3 = \frac{2\sqrt{6}}{9} (3-2) = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

ここで、$\sqrt{6} < 3$なので、

$\frac{2\sqrt{6}}{9} < \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

したがって、$0 < \int_2^3 \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} dx < \frac{2}{3}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(A) $2 < x < 3$ のとき、$0 < (x-3)^2 (x-2) \leq \frac{4}{27}$

(B) $0 < \int_2^3 \sqrt{2(x-3)^2 (x-2)} dx < \frac{2}{3}$