与えられた領域 $D_i$ ($i=1,2,3,4,5,6$) に対して、2重積分 $\iint_{D_i} 1 \, dxdy$ の値を求める問題です。特に、$D_4$ は $y$ で積分してから $x$ で積分する順序で、$D_5$ は $x$ で積分してから $y$ で積分する順序で計算します。

1. 問題の内容

与えられた領域 $D_i$ ($i=1,2,3,4,5,6$) に対して、2重積分 $\iint_{D_i} 1 \, dxdy$ の値を求める問題です。特に、$D_4$ は $y$ で積分してから $x$ で積分する順序で、$D_5$ は $x$ で積分してから $y$ で積分する順序で計算します。

2. 解き方の手順

各領域 $D_i$ に対して、積分範囲を決定し、2重積分を計算します。

(1) $D_1 = \{(x,y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$

$\iint_{D_1} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_0^1 1 \, dxdy = \int_0^1 [x]_0^1 dy = \int_0^1 1 \, dy = [y]_0^1 = 1$

(2) $D_2 = \{(x,y) | 2 \leq x \leq 3, 4 \leq y \leq 6\}$

$\iint_{D_2} 1 \, dxdy = \int_4^6 \int_2^3 1 \, dxdy = \int_4^6 [x]_2^3 dy = \int_4^6 1 \, dy = [y]_4^6 = 6 - 4 = 2$

(3) $D_3 = \{(x,y) | 0 \leq x \leq 1, -3x \leq y \leq 2x\}$

$\iint_{D_3} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_{-3x}^{2x} 1 \, dy dx = \int_0^1 [y]_{-3x}^{2x} dx = \int_0^1 (2x - (-3x)) dx = \int_0^1 5x \, dx = [\frac{5}{2}x^2]_0^1 = \frac{5}{2}$

(4) $D_4 = \{(x,y) | y = x^2 \text{ と } y = -x \text{ で囲まれる部分}\}$

交点を求めます。$x^2 = -x$ より $x^2 + x = 0$, $x(x+1) = 0$, よって $x = 0, -1$.

$y = x^2$ が上にあり、$y = -x$ が下にあるので、$x$ の範囲は $-1 \leq x \leq 0$, $x^2 \leq y \leq -x$

$\iint_{D_4} 1 \, dxdy = \int_{-1}^0 \int_{x^2}^{-x} 1 \, dy dx = \int_{-1}^0 [y]_{x^2}^{-x} dx = \int_{-1}^0 (-x - x^2) dx = [-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^0 = 0 - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

(5) $D_5 = \{(x,y) | y = x+1, y = 1-x \text{ と } x\text{軸で囲まれる部分}\}$

交点を求めます。$x+1 = 1-x$ より $2x = 0$, $x = 0$, $y = 1$. $y=x+1$ と $x$軸の交点は $x+1=0$ より $x=-1$. $y=1-x$ と $x$軸の交点は $1-x=0$ より $x=1$. よって $-1 \leq x \leq 1$と単純に範囲を取ることはできません。

$0 \leq y \leq 1$. $y = x+1$ から $x = y-1$、$y = 1-x$ から $x = 1-y$.

$\iint_{D_5} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_{y-1}^{1-y} 1 \, dx dy = \int_0^1 [x]_{y-1}^{1-y} dy = \int_0^1 (1-y - (y-1)) dy = \int_0^1 (2 - 2y) dy = [2y - y^2]_0^1 = 2 - 1 = 1$

(6) $D_6 = \{(x,y) | y = x, y = 1 \text{ と } y\text{軸で囲まれる部分}\}$

$0 \leq y \leq 1$. $y = x$ より $x = y$, $x = 0$ と $x = y$ で囲まれるので、$0 \leq x \leq y$.

$\iint_{D_6} 1 \, dxdy = \int_0^1 \int_0^y 1 \, dx dy = \int_0^1 [x]_0^y dy = \int_0^1 y \, dy = [\frac{1}{2}y^2]_0^1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 5/2

(4) 5/6

(5) 1

(6) 1/2