与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x - c} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - x^2 f(c)}{x - c}$$

2. 解き方の手順

分子に $c^2 f(c) - c^2 f(c) = 0$ を加えます。すると、

$$\lim_{x \to c} \frac{c^2 f(x) - c^2 f(c) + c^2 f(c) - x^2 f(c)}{x - c}$$

$$= \lim_{x \to c} \frac{c^2 (f(x) - f(c)) - f(c) (x^2 - c^2)}{x - c}$$

$$= \lim_{x \to c} c^2 \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f(c) \lim_{x \to c} \frac{x^2 - c^2}{x - c}$$

ここで、$f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$ であり、$x^2 - c^2 = (x - c)(x + c)$ であることを用いると、

$$= c^2 f'(c) - f(c) \lim_{x \to c} (x + c)$$

$$= c^2 f'(c) - f(c) (c + c)$$

$$= c^2 f'(c) - 2c f(c)$$

3. 最終的な答え

$$c^2 f'(c) - 2c f(c)$$